形态学图像处理

数学形态学 (1964)

铁矿 岩相定量分析 Hit or miss

基础知识

集合论中的概念

• 集合 $A,B$
• 元素 $a,b$
• 集合和元素的关系 $a\in A,b\notin A$
• 集合关系
  • 子集 $\subseteq$
  • 并集 $\cup$
  • 交集 $\cap$
    • $A\cap B=\varphi$(互斥 or 不相容)
  • 补集 $A^c=\{w|w\notin A\}$
  • 差集 $A-B=A\cap B^c$
• 位移 $A$ 用 $z=(z_1,z_2)$ 位移: $(A{)}_z$$$(A{)}_z=\{y|y=a+z,a\in A\}$$
• 映像 $A$ 的映像 $\hat{A}$$$\hat{A}=\{w|w=-a,a\in A\}$$

结构元

用于探测图像的小集合或子图

• 原点（可以包括在结构元中，也可以不）
• 对称且未显示原点，假定在对称中心
• 对图像操作时要求结构元素是矩阵，添加最少的背景元素实现

# 1. 矩形结构元 (MORPH_RECT)
rectse = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_RECT, (5, 5))
# 2. 十字/菱形结构元 (MORPH_CROSS)
crose = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS, (5, 5))
# 3. 椭圆/圆形结构元 (MORPH_ELLIPSE)
ese = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_ELLIPSE, (5, 5))

膨胀和腐蚀

膨胀 dilate

A 用 B 来膨胀: $A\oplus B$

$$A\oplus B=\{x|(\hat{B}{)}_x\cap A\ne \varphi \}$$

腐蚀 erosion

A 用 B 来腐蚀: $A\ominus B$

$$A\ominus B=\{x|(B{)}_x\subseteq A\}$$

OpenCV

cv2.dilate(src, kernel, anchor=(-1,-1),iterations=1,borderType=cv2.BORDER_CONSTANT) # or erode

开操作和闭操作

开操作 opening

$$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$$

在边界内转动 $B$ 中的点能达到的 $A$ 的边界的最远点

闭操作 close

$$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$$

在边界外转动

OpenCV

cv2.morphologyEx(src, op, kernel, anchor=(-1,-1), iteration=1)

击中或击不中变换

$$A⊛B=(A\ominus B_1)\cap (A^c\ominus B_2)$$

$B$ 目标和目标背景构成的集合

要求: 结构元对象间不相交

cv2.morphologyEx(src,cv2.MORPH_HITMISS,kernel,anchor=(-1,-1))

• kernel: 前景1 背景-1 任意0 (np.int32)

基本的形态学算法

• 边界提取: $\beta (A)=A-(A\ominus B)$

• 区域填充: $X_k=(X_{k-1}\oplus B)\cap A^{c}k=1,2,3,\dots$

  • 给定区域内一点，采用种子填充

  • 对于多个区域填充时，需要指定初始点

    

• 细化:

  $$\begin{array}{c}A\otimes B=A-(A⊛B)=A\cap (A⊛B{)}^c\\ B=\{B^1,B^2,B^3,\dots ,B^n\}\end{array}$$

  

  • 执行一遍后还要继续细化，直到结果不发生变化

• 联通区域提取

  $$\begin{array}{c}{X}_k=(X_{k-1}\oplus B)\cap A,k=1,2,3\dots \\ \mathrm{where}{X}_0=\mathrm{seed}\mathrm{pixel}p\end{array}$$

  

  • $X_k=X_{k-1}$ 时迭代结束

• 凸壳 (Convex Hull)

  • 任意集合 S 的凸壳是包含 S 的最小凸集
  $$\begin{array}{c}{X}_k^i=(X_{k-1}^i⊛B^i)\cup A,i=1,2,3,4,k=1,2,3\dots \end{array}$$

  

  • $X_k^i=X_{k-1}^i$ 时迭代收敛，$D^i=X_k^i$
  • A 的凸壳 $C(A)=\bigcup _{i=1}^4{D}^i$

灰度级图像扩展

• 表示
  • 输入图像 $f(x,y)$
  • 结构元素 $b(x,y)$
• 膨胀$$f\oplus b(s,t)=max\{f(s-x,t-y)+b(x,y)|(s-x),(t-y)\in D_f;(x,y)\in D_b\}$$
• 腐蚀$$f\ominus b(s,t)=min\{f(s+x,t+y)-b(x,y)|(s-x),(t-y)\in D_f;(x,y)\in D_b\}$$
• 开操作: 球在下侧滚动，去除较小的明亮细节
• 闭操作: 球在上侧滚动，去除较小的暗细节

基本形态学算法

• 形态学平滑 $g=(f\circ b)\bullet b$
• 形态学梯度 $g=(f\oplus b)-(f\ominus b)$
• 顶帽变换 (亮背景上的暗物体) $T_{hat}(f)=f-(f\circ b)$
• 底帽变换 (亮背景上的暗物体) $B_{hat}(f)=(f\bullet b)-f$
• 粒度测定
  1. 采用尺寸逐渐增大的结构元素对图像进行开运算；
  2. 计算原始图像与各次开运算结果之间的差值图像；
  3. 对差值图像进行归一化处理，根据归一化结果绘制颗粒尺寸分布。
• 纹理分割