逻辑代数基础

复习重点

1. 三种基本逻辑关系: 与 或 非 —— 运算规则、真值表和图形符号
2. 常用符合逻辑运算: 与非 或非 与或非 异或 同或 —— 运算规则、真值表和图形符号
3. 逻辑功能描述及其相互之间的转换
   • 真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图
4. 逻辑代数的公式及函数化简
5. 卡诺图法化简逻辑函数

重点 （具无关项的）逻辑函数的卡诺图法化简

概述

• 逻辑: 事务的因果关系
• 逻辑运算的数学基础: 逻辑代数(乔治·布尔 1849 年提出，布尔代数)
• 变量取值: 0/1

基本运算

• 与 $Y=AB$
• 或 $Y=A+B$
• 非 $Y=A^{\prime }$
• 与非 $Y=(AB{)}^{\prime }$
• 或非 $Y=(A+B{)}^{\prime }$
• 与或非 $Y=(AB+CD{)}^{\prime }$
• 异或 $Y=A\oplus B$
• 同或 $Y=A\odot B$

公式

• 分配律: $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C,A+B\cdot C=(A+B)\cdot (A+C)$

• 常用公式

  • $$A+A^{\prime }B=A+B$$
  • 冗余定理$$\begin{array}{r}AB+A^{\prime }C+BC=AB+A^{\prime }C\\ AB+A^{\prime }C+BCD=AB+A^{\prime }C\end{array}$$
  • 冗余定理推论（对偶式）$$(A+B)(A^{\prime }+C)(B+C)=(A+B)(A^{\prime }+C)$$

基本定理

• 代入定理
• 反演定理（德摩根定律扩展）
• 对偶定理: 逻辑式相等，那么对偶式($Y^D$)也相等

逻辑函数及其描述方法

• 逻辑函数: $Y=F(A,B,C,\dots )$，逻辑变量为输入，运算结果为输出
  • 描述方法: 真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图、硬件描述语言
• 逻辑表达式的常用形式: 与或式、或与式、与非式、或非式、与或非式
• 逻辑函数表达式的标准形式
  • 最小项标准表达式 $F=A^{\prime }C+A{B}^{\prime }=A^{\prime }BC+A^{\prime }{B}^{\prime }C+A{B}^{\prime }C+A{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\sum m(1,3,4,5)$

逻辑函数化简

公式化简法（非常抽象）

卡诺图法

• 卡诺图（只考到 4 变量）

  

• 依据: 相邻最小项可以合并

• 化简步骤:

  • 画出卡诺图
  • 画圈合并最小项
    • 每个圈尽量大
    • 圈的个数尽可能少
    • 覆盖卡诺图中的所有的 1
    • 每个圈至少有一个未用的 1
  • 将每个 与项 相 或

具有无关项的逻辑函数及其化简

• 约束: 输入变量取值的限制称为约束，一组具有取值限制的数数变量称为具有约束的逻辑变量
• 约束项: 某些取值不能出现时，用最小项恒等于 0 表示 $A^{\prime }BC+A{B}^{\prime }C=0$，这些恒等于 0 的最小项称为 Y 的约束项
• 任意项: 输入变量某些取值下函数值为 1 或为 0 不影响逻辑带你的功能，这些最小项称为任意项。
• 逻辑函数中的无关项: 约束项和任意项可以写入函数示也可以不写入函数式，统称无关项

$$F=\sum m+\sum d\mathrm{或}\{\begin{array}{l}F=\sum m\\ \text{约束条件:}\sum d=0\end{array}$$

• 在卡诺图中用 x 表示无关项，在化简逻辑函数时既可以认为它是 1，也可以认为它是 0