关系数据库

2.1 关系模型概述

关系数据库简介

• E.F.Codd（美国IBM公司）于1970年系统而严格地提出关系模型，论文《A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks》发表在《Communication of the ACM》
• 之后提出了关系代数和关系演算的概念
• 1972年提出关系的第一、第二、第三范式
• 1974年提出关系的BC范式
• 关系数据库应用数学方法来处理数据库中的数据
• 20世纪80年代后，关系数据库系统成为最重要、最流行的数据库系统

典型系统：

• 实验系统：System R、University INGRES
• 商用系统：ORACLE、SYBASE、INFORMIX、DB2、INGRES

关系模型的组成

关系模型由三部分组成：

1. 关系数据结构
2. 关系操作集合
3. 关系完整性约束

1. 关系数据结构

• 单一的数据结构——关系
• 现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示
• 数据的逻辑结构——二维表（从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表）

2. 关系操作

（1）常用的关系操作

• 查询操作：选择、投影、连接、除、并、交、差
  • 查询的表达能力是其中最主要的部分
  • 5种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积
• 数据更新操作：插入、删除、修改

（2）关系操作的特点

• 集合操作方式：操作的对象和结果都是集合
• 非关系数据模型的数据操作方式：一次一记录（如文件系统）

（3）关系数据语言的种类

语言类型	特点	典型代表
关系代数语言	用对关系的运算来表达查询要求	ISBL
关系演算语言	用谓词来表达查询要求
- 元组关系演算语言	谓词变元的基本对象是元组变量	APLHA, QUEL
- 域关系演算语言	谓词变元的基本对象是域变量	QBE
具有双重特点的语言	兼具关系代数和关系演算	SQL

（4）关系数据语言的特点

• 高度非过程化的语言
• 存取路径的选择由DBMS的优化机制来完成
• 用户不必用循环结构就可以完成数据操作
• 能够嵌入高级语言中使用
• 关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上完全等价

3. 关系的三类完整性约束

完整性约束	说明
实体完整性	通常由关系系统自动支持
参照完整性	早期系统不支持，目前大型系统能自动支持
用户定义的完整性	反映应用领域需要遵循的约束条件，体现具体领域中的语义约束，用户定义后由系统支持

2.2 关系数据结构及形式化定义

关系模型建立在集合代数的基础上。

2.2.1 关系

1. 域（Domain）

域是一组具有相同数据类型的值的集合。例如：

• 整数
• 实数
• 介于某个取值范围的整数
• 长度指定的字符串集合
• {'男','女'}
• 介于某个取值范围的日期

2. 笛卡尔积（Cartesian Product）

（1）定义

给定一组域 $D_1,D_2,\dots ,D_n$（这些域中可以有相同的），$D_1,D_2,\dots ,D_n$ 的笛卡尔积为：

$$D_1\times D_2\times \cdots \times D_n=\{(d_1,d_2,\dots ,d_n)\mid d_i\in D_i,i=1,2,\dots ,n\}$$

所有域的所有取值的一个组合，不能重复。

（2）示例

给出三个域：

• $D_1=SUPERVISOR=\{\mathrm{张}\mathrm{清}\mathrm{玫},\mathrm{刘}\mathrm{逸}\}$
• $D_2=SPECIALITY=\{\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{机}\mathrm{专}\mathrm{业},\mathrm{信}\mathrm{息}\mathrm{专}\mathrm{业}\}$
• $D_3=POSTGRADUATE=\{\mathrm{李}\mathrm{勇},\mathrm{刘}\mathrm{晨},\mathrm{王}\mathrm{敏}\}$

则 $D_1\times D_2\times D_3$ 有 $2\times 2\times 3=12$ 个元组。

（3）基本概念

概念	英文	说明
元组（Tuple）	Tuple	笛卡尔积中每一个元素 $(d_1,d_2,\dots ,d_n)$ 称为一个 n 元组
分量（Component）	Component	笛卡尔积元素中的每一个值 $d_i$ 叫作一个分量
基数（Cardinal number）	Cardinality	若 $D_i$ 的基数为 $m_i$，则 $D_1\times D_2\times \cdots \times D_n$ 的基数 $M=\prod _{i=1}^n{m}_i$

（4）笛卡尔积的表示方法

笛卡尔积可表示为一张二维表，表中的每行对应一个元组，每列对应一个域。

3. 关系（Relation）

（1）定义

$D_1\times D_2\times \cdots \times D_n$ 的子集叫作在域 $D_1,D_2,\dots ,D_n$ 上的关系，表示为：

$$R(D_1,D_2,\dots ,D_n)$$

• $R$：关系名
• $n$：关系的目或度（Degree）

注意：

• 关系是笛卡尔积的有限子集（无限关系在数据库系统中无意义）
• 笛卡尔积不满足交换律，但关系满足交换律。解决方法：为关系的每个列附加一个属性名以取消关系元组的有序性

示例：

关系 $\mathrm{SAP}(\mathrm{SUPERVISOR},\mathrm{SPECIALITY},\mathrm{POSTGRADUATE})$

假设专业与导师为1:n，导师与研究生为1:n，则SAP关系可以包含三个元组：

{ (张清玫, 信息专业, 李勇),
  (张清玫, 信息专业, 刘晨),
  (刘逸, 信息专业, 王敏) }

（2）元组：关系中的每个元素称为元组，通常用 $t$ 表示。

（3）单元关系与二元关系：

• $n=1$ 时，称为单元关系（Unary relation）
• $n=2$ 时，称为二元关系（Binary relation）

（4）关系的表示：关系也是一个二维表，每行对应一个元组，每列对应一个域。

（5）属性：关系中不同列可以对应相同的域，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）。n目关系必有n个属性。

（6）码（Key）

概念	说明
候选码（Candidate key）	某一属性组的值能唯一地标识一个元组，且其真子集不能唯一标识，则称该属性组为候选码。最简单的情况：候选码只包含一个属性
全码（All-key）	最极端的情况：所有属性组都是候选码
主码（Primary key）	若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码
主属性（Prime attribute）	候选码的诸属性称为主属性
非主属性（Non-key attribute）	不包含在任何候选码中的属性

（7）三类关系

类型	说明
基本关系（基本表或基表）	实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表	查询结果对应的表
视图表	由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

（8）基本关系的性质

1. 列是同质的（Homogeneous）：每一列中的分量是同一类型的数据，来自同一个域
2. 不同的列可出自同一个域：每一列称为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名
   • 例如：导师属性和研究生属性都从PERSON域中取值，必须取不同的属性名
3. 列的顺序无所谓：列的次序可以任意交换
   • 遵循此性质的产品（如ORACLE）增加新属性时插至最后一列
   • 不遵循者（如FoxPro）区分属性顺序
4. 任意两个元组的候选码不能相同（由笛卡尔积性质决定）
   • 但许多产品（如Oracle、FoxPro）允许存在完全相同元组，除非定义了约束
5. 行的顺序无所谓：行的次序可以任意交换
   • 遵循者（如ORACLE）插入元组时插至最后一行
6. 分量必须取原子值：每一个分量都必须是不可分的数据项（规范条件中最基本的一条）

2.2.2 关系模式

1. 什么是关系模式

• 关系模式（Relation Schema）是型，关系是值
• 关系模式是对关系的描述，包括：
  • 元组集合的结构：属性构成、属性来自的域、属性与域之间的映像关系
  • 完整性约束条件：属性取值范围的限定、属性之间的相互关联和相互约束

2. 关系模式的形式化定义

关系模式可以形式化地表示为：

$$R(U,D,DOM,F)$$

符号	含义
$R$	关系名
$U$	组成该关系的属性名集合
$D$	属性组 $U$ 中属性所来自的域
$DOM$	属性向域的映像集合
$F$	属性间数据的依赖关系的集合

示例： 导师和研究生出自同一个域——人，定义 $\mathrm{dom}(\mathrm{SUPERVISOR}\text{-}\mathrm{PERSON})=\mathrm{dom}(\mathrm{POSTGRADUATE}\text{-}\mathrm{PERSON})=\mathrm{PERSON}$。

关系模式通常可以简记为：

$$R(U)\mathrm{或}R(A_1,A_2,\dots ,A_n)$$

• $R$：关系名
• $A_1,A_2,\dots ,A_n$：属性名
• 域名及属性向域的映像常常直接说明为属性的类型、长度

3. 关系模式与关系

对比维度	关系模式	关系
本质	型（对关系的描述）	值（关系模式在某一时刻的状态或内容）
性质	静态的、稳定的	动态的、随时间不断变化的
统称	关系模式和关系往往统称为关系，通过上下文加以区别

2.2.3 关系数据库

1. 关系数据库

在一个给定的应用领域中，所有实体及实体之间联系的关系的集合构成一个关系数据库。

2. 关系数据库的型与值

• 关系数据库的型称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述，包括：
  • 若干域的定义
  • 在这些域上定义的若干关系模式
• 关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常简称为关系数据库

2.3 关系的完整性

关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件。

• 实体完整性和参照完整性：关系模型必须满足的完整性约束条件，被称作关系的两个不变性，应由关系系统自动支持
• 用户定义的完整性：应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束

2.3.1 实体完整性

实体完整性规则（Entity Integrity）：

若属性 $A$ 是基本关系 $R$ 的主属性，则属性 $A$不能取空值。

示例：

• SAP(SUPERVISOR, SPECIALITY, POSTGRADUATE)
  • POSTGRADUATE为主码（假设研究生不会重名），则其不能取空值
• 选修（学号，课程号，成绩）
  • "学号、课程号"为主码，则两个属性都不能取空值

遵守实体完整性规则的原因：

1. 实体完整性规则针对基本关系（一个基本表通常对应一个实体集或多对多联系）
2. 现实世界中的实体和实体间的联系都是可区分的（具有某种唯一性标识）
3. 关系模型中以主码作为唯一性标识
4. 主码中的属性即主属性不能取空值。空值就是"不知道"或"无意义"的值。主属性取空值，就说明存在不可区分的实体，与第（2）点矛盾

2.3.2 参照完整性

1. 关系间的引用

在关系模型中，实体及实体间的联系都用关系来描述，因此可能存在关系与关系间的引用。

示例1： 学生实体、专业实体以及专业与学生间的一对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
专业（专业号，专业名）

示例2： 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选修（学号，课程号，成绩）

示例3： 学生实体及其内部的领导联系（一对多）

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

2. 外码（Foreign Key）

设 $F$ 是基本关系 $R$ 的一个或一组属性，但不是关系 $R$ 的码。如果 $F$ 与基本关系 $S$ 的主码 $K_s$ 相对应，则称 $F$ 是基本关系 $R$ 的外码。

• 基本关系 $R$ 称为参照关系（Referencing Relation）
• 基本关系 $S$ 称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）

说明：

• 关系 $R$ 和 $S$ 不一定是不同的关系
• 目标关系 $S$ 的主码 $K_s$ 和参照关系的外码 $F$ 必须定义在同一个（或一组）域上
• 外码并不一定要与相应的主码同名（但通常取相同的名字以便于识别）

3. 参照完整性规则

若属性（或属性组）$F$ 是基本关系 $R$ 的外码，它与基本关系 $S$ 的主码 $K_s$ 相对应，则对于 $R$ 中每个元组在 $F$ 上的值必须为：

• 或者取空值（$F$ 的每个属性值均为空值）
• 或者等于 $S$ 中某个元组的主码值

应用示例：

• 学生关系中"专业号"只能取：空值（尚未分配专业）或专业关系中已存在的专业号值
• 选修关系中"学号"和"课程号"既是主属性又是外码，只能取相应被参照关系中已经存在的主码值
• 学生关系中"班长"属性值可以取：空值（未选班长或本人即为班长）或本关系中某个元组的学号值

2.3.3 用户定义的完整性

用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。

关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，由系统统一处理，而非由应用程序承担。

示例：

课程（课程号，课程名，学分）

• "课程名"属性必须取唯一值
• 非主属性"课程名"也不能取空值
• "学分"属性只能取值 {1, 2, 3, 4}

2.4 关系代数

概述

1. 关系代数

• 一种抽象的查询语言
• 用对关系的运算来表达查询

2. 运算的三要素

运算对象、运算结果、运算符。

3. 关系代数运算的三个要素

要素	内容
运算对象	关系
运算结果	关系
运算符	四类（集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符、逻辑运算符）

运算符分类：

运算符类型	说明
集合运算符	将关系看成元组的集合，从关系的"水平"方向（行的角度）进行运算
专门的关系运算符	不仅涉及行而且涉及列
算术比较符	辅助专门的关系运算符进行操作
逻辑运算符	辅助专门的关系运算符进行操作

4. 关系代数运算的分类

运算类别	包含的运算
传统的集合运算	并、差、交、广义笛卡尔积
专门的关系运算	选择、投影、连接、除

5. 表示记号

（1）$R$, $t\in R$, $t[A_i]$

设关系模式为 $R(A_1,A_2,\dots ,A_n)$，$t\in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组，$t[A_i]$ 表示元组 $t$ 中相应于属性 $A_i$ 的一个分量。

（2）$\bar{A}$, $t[A]$, $\bar{C}$

若 $A=\{A_{i1},A_{i2},\dots ,A_{ik}\}$，则 $A$ 称为属性列或域列。$t[A]=(t[A_{i1}],t[A_{i2}],\dots ,t[A_{ik}])$ 表示元组 $t$ 在属性列 $A$ 上诸分量的集合。$\bar{A}$ 表示从全部属性中去掉 $A$ 后剩余的属性组。

（3）$t_r\bowtie t_s$

$R$ 为 n 目关系，$S$ 为 m 目关系，$t_r\in R$，$t_s\in S$，$t_r\bowtie t_s$ 称为元组的连接——一个 $n+m$ 列的元组。

（4）象集 $Z_x$

给定一个关系 $R(X,Z)$，$X$ 和 $Z$ 为属性组。当 $t[X]=x$ 时，$x$ 在 $R$ 中的象集（Images Set）为：

$$Z_x=\{t[Z]\mid t\in R,t[X]=x\}$$

表示 $R$ 中属性组 $X$ 上值为 $x$ 的诸元组在 $Z$ 上分量的集合。

2.4.1 传统的集合运算

要求：$R$ 和 $S$ 具有相同的目 $n$，且相应的属性取自同一个域。

1. 并（Union）

$$R\cup S=\{t\mid t\in R\vee t\in S\}$$

• 仍为 n 目关系
• 由属于 $R$ 或属于 $S$ 的元组组成

2. 差（Difference）

$$R-S=\{t\mid t\in R\wedge t\notin S\}$$

• 仍为 n 目关系
• 由属于 $R$ 而不属于 $S$ 的所有元组组成

3. 交（Intersection）

$$R\cap S=\{t\mid t\in R\wedge t\in S\}$$

• 仍为 n 目关系
• 由既属于 $R$ 又属于 $S$ 的元组组成
• 可表示为：$R\cap S=R-(R-S)$

4. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

$$R\times S=\{t_r\bowtie t_s\mid t_r\in R\wedge t_s\in S\}$$

维度	结果
列	$(n+m)$ 列：前 n 列是 $R$ 的一个元组，后 m 列是 $S$ 的一个元组
行	$k_1\times k_2$ 个元组（$k_1$ 为 $R$ 的元组数，$k_2$ 为 $S$ 的元组数）

2.4.2 专门的关系运算

1. 选择（Selection）

（1）定义

选择又称为限制（Restriction）。在关系 $R$ 中选择满足给定条件的诸元组：

$${\sigma }_F(R)=\{t\mid t\in R\wedge F(t)=\text{’真’}\}$$

• $F$：选择条件，是一个逻辑表达式
• 基本形式：$[\mathrm{\neg }(]X_1\theta Y_1[)][\phi [\mathrm{\neg }(]X_2\theta Y_2[)]]\dots$
  • $\theta$：比较运算符（$>,\ge ,<,\le ,=,\ne$）
  • $X_1,Y_1$ 等：属性名、常量、简单函数（属性名可用序号代替）
  • $\phi$：逻辑运算符（$\wedge$ 或 $\vee$）

（2）特点

选择运算是从行的角度进行的运算。

（3）示例

例 1：查询信息系（IS 系）全体学生

$${\sigma }_{\mathrm{Sdept}=\text{’IS’}}(\mathrm{Student})\text{或}{\sigma }_{5=\text{’IS’}}(\mathrm{Student})$$

例 2：查询年龄小于 20 岁的学生

$${\sigma }_{\mathrm{Sage}<20}(\mathrm{Student})\text{或}{\sigma }_{4<20}(\mathrm{Student})$$

2. 投影（Projection）

（1）定义

从 $R$ 中选择出若干属性列组成新的关系：

$${\pi }_A(R)=\{t[A]\mid t\in R\}$$

• $A$：$R$ 中的属性列

（2）特点

• 投影操作主要是从列的角度进行运算
• 投影之后不仅取消了原关系中的某些列，还可能取消某些元组（避免重复行）

（3）示例

例 3：查询学生的姓名和所在系

$${\pi }_{\mathrm{Sname},\mathrm{Sdept}}(\mathrm{Student})\text{或}{\pi }_{2,5}(\mathrm{Student})$$

例 4：查询学生关系 Student 中都有哪些系

$${\pi }_{\mathrm{Sdept}}(\mathrm{Student})$$

3. 连接（Join）

（1）定义（θ连接）

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组：

$$R{\bowtie }_{A\theta B}S=\{t_r\bowtie t_s\mid t_r\in R\wedge t_s\in S\wedge t_r[A]\theta t_s[B]\}$$

• $A$ 和 $B$：分别为 $R$ 和 $S$ 上度数相等且可比的属性组
• $\theta$：比较运算符

连接运算是从 $R$ 和 $S$ 的广义笛卡尔积 $R\times S$ 中选取满足比较关系的元组。

（2）两类常用连接

① 等值连接（equijoin）

$\theta$ 为 "=" 的连接运算。从 $R$ 与 $S$ 的广义笛卡尔积中选取 $A$、$B$ 属性值相等的那些元组：

$$R{\bowtie }_{A=B}S=\{t_r\bowtie t_s\mid t_r\in R\wedge t_s\in S\wedge t_r[A]=t_s[B]\}$$

② 自然连接（Natural join）

• 是一种特殊的等值连接
• 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
• 在结果中去掉重复的属性列

$$R\bowtie S=\{t_r\bowtie t_s\mid t_r\in R\wedge t_s\in S\wedge t_r[B]=t_s[B]\}$$

（3）运算角度

• 一般的连接操作是从行的角度进行运算
• 自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算

（4）悬浮元组与外连接

概念	说明
悬浮元组（Dangling tuple）	关系 $R$ 和 $S$ 做自然连接时，$R$ 中某些元组在 $S$ 中找不到公共属性上值相等的元组，这些被舍弃的元组称为悬浮元组
外连接（OUTER JOIN）	把悬浮元组也保存在结果关系中，在其他属性上填空值（Null）
左外连接（LEFT JOIN）	只保留左边关系 $R$ 中的悬浮元组
右外连接（RIGHT JOIN）	只保留右边关系 $S$ 中的悬浮元组

4. 除（Division）

（1）定义

给定关系 $R(X,Y)$ 和 $S(Y,Z)$，其中 $X,Y,Z$ 为属性组。$R$ 中的 $Y$ 与 $S$ 中的 $Y$ 可以有不同属性名，但必须出自相同的域集。

$$R÷S=\{t_r[X]\mid t_r\in R\wedge {\pi }_Y(S)\subseteq Y_x\}$$

• $Y_x$：$x$ 在 $R$ 中的象集，$x=t_r[X]$

除运算得到一个新的关系 $P(X)$，$P$ 是 $R$ 中满足下列条件的元组在 $X$ 属性列上的投影：元组在 $X$ 上分量值 $x$ 的象集 $Y_x$ 包含 $S$ 在 $Y$ 上投影的集合。

（2）特点

除操作是同时从行和列角度进行运算。

（3）示例分析

R:
A    B    C
a1   b1   c2
a1   b2   c3
a1   b2   c1
a2   b3   c7
a2   b2   c3
a3   b4   c6
a4   b6   c6

S:
B    C
b1   c2
b2   c1
b2   c3

分析：

• $a_1$ 的象集：$\{(b_1,c_2),(b_2,c_3),(b_2,c_1)\}$
• $a_2$ 的象集：$\{(b_3,c_7),(b_2,c_3)\}$
• $a_3$ 的象集：$\{(b_4,c_6)\}$
• $a_4$ 的象集：$\{(b_6,c_6)\}$
• $S$ 在 $(B,C)$ 上的投影：$\{(b_1,c_2),(b_2,c_1),(b_2,c_3)\}$

只有 $a_1$ 的象集包含 $S$ 在 $(B,C)$ 上的投影，所以 $R÷S=\{a_1\}$。

5. 综合举例

示例数据库： 学生-课程数据库（Student, Course, SC）

例 7：查询至少选修 1 号课程和 3 号课程的学生号码

$$K={\pi }_{\mathrm{Cno}}({\sigma }_{\mathrm{Cno}=\text{’1’}\vee \mathrm{Cno}=\text{’3’}}(\mathrm{Course}))$$$${\pi }_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC})÷K$$

结果为 $95001$，因为 $95001$ 的象集 $\{1,2,3\}$ 包含 $\{1,3\}$。

例 8：查询选修了 2 号课程的学生的学号

$${\pi }_{\mathrm{Sno}}({\sigma }_{\mathrm{Cno}=\text{’2’}}(\mathrm{SC}))=\{95001,95002\}$$

例 9：查询至少选修了一门其直接先行课为 5 号课程的学生姓名

$${\pi }_{\mathrm{Sname}}({\sigma }_{\mathrm{Cpno}=\text{’5’}}(\mathrm{Course})\bowtie \mathrm{SC}\bowtie \mathrm{Student})$$

例 10：查询选修了全部课程的学生号码和姓名

$$({\pi }_{\mathrm{Sno},\mathrm{Cno}}(\mathrm{SC})÷{\pi }_{\mathrm{Cno}}(\mathrm{Course}))\bowtie {\pi }_{\mathrm{Sno},\mathrm{Sname}}(\mathrm{Student})$$

本章小结

本章围绕关系模型展开，重点说明关系数据结构、关系操作和关系完整性约束。

关键内容

• 关系数据结构：关系由域、笛卡尔积和关系逐步定义，核心概念包括属性、元组、候选码、主码、主属性和关系模式。
• 基本关系性质：列同质，列可同域，行列顺序无关，候选码唯一，分量必须是原子值。
• 关系操作集合：查询操作包括选择、投影、连接、除、并、交、差；更新操作包括插入、删除、修改。
• 关系代数运算：五种基本运算是并、差、笛卡尔积、投影、选择；交、连接、除可由基本运算导出。
• 完整性约束：实体完整性要求主属性非空，参照完整性约束外码取值，用户定义完整性表达具体应用语义。

核心要点

• 关系模型以二维表为逻辑结构，但其理论基础是集合代数。
• 关系代数的基本运算具备完备表达能力，导出运算用于简化查询表达。
• 关系完整性约束保证关系数据库中的数据符合实体、引用关系和业务语义。

关键术语

域, 笛卡尔积, 关系, 元组, 属性, 候选码, 主码, 外码, 关系模式, 关系代数, 实体完整性, 参照完整性, 用户定义完整性。